João Lucas

 

João Lucas é um grande pesquisador das ciências exatas. Com formação e mestrado em Física, ele atualmente desenvolve seu doutorado na Universidade Estadual de Londrina – UEL, na área dos fenômenos ligados aos cristais líquidos. Além disso, desempenha já há vários anos a função docente.

Por sua experiência em cálculos matemáticos complicadíssimos, e também pelo cuidado com a questão didática, João Lucas foi convidado a fazer parte da equipe do Bússola Profissional, a fim de trazer aos leitores deste site uma nova abordagem dos problemas aritméticos. Sua missão é difícil, uma vez que esta disciplina tem sido a vilã da vida de muitas pessoas. No entanto, ele crê que com paciência e habilidade metodológica é possível desmistificar a matemática básica e o raciocínio lógico, de forma a tornar o conhecimento destes universos uma empolgante experiência.

 

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05/03/2009

 

Conjuntos Numéricos – Aplicações

 

Olá, pessoal!

Depois de estudarmos um pouco da teoria a respeito dos conjuntos numéricos, abordaremos algumas aplicações relacionadas a eles. Para isso, vamos introduzir uma simbologia necessária ao nosso estudo.

Primeiramente, uma vez que todos os conjuntos numéricos são passíveis de operações entre si, podemos, como uma dessas operações, introduzir o conceito de UNIÃO entre dois conjuntos, tal como o conceito de INTERSECÇÃO. Os símbolos utilizados para cada uma dessas idéias são, respectivamente, U e .

Para auxiliar na compreensão, considere o seguinte exemplo:

 

Dados os conjuntos numéricos: A={0,1,2,3,4}, B={5,6,7,8} e C={2,4,6,8}. Forneça:

a)    A U B.

b)    B U C.

c)    A B.

d)    B C.

 

Resolução:

Uma vez que U significa união entre conjuntos, basta combinarmos os elementos dos conjuntos numéricos cuja união foi proposta. Já, como significa intersecção, basta citarmos os elementos em comum dos conjuntos numéricos cuja intersecção foi proposta. Dessa forma, teremos:

a)    A U B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

b)    B U C = {2,4,5,6,7,8}

c)    A B = Ø (ou { })

d)    B C = {6,8}

 

É importante ressaltar a equivalência dos símbolos do item c. Está correta a utilização tanto de Ø quanto de { } para designar “conjunto vazio”.

Muito bem! Já que temos conhecimento da simbologia utilizada no estudo e nas aplicações dos conceitos de conjuntos numéricos, vamos aos exercícios de fixação. Os três primeiros terão a resolução orientada. Os demais ficarão por conta do estudante, ok?

 

EXERCÍCIOS

01.  Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre conjuntos numéricos, tendo sido indicados dois livros sobre esse assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos, e o livro B por 28 alunos. Pergunta-se:

a)     Quantos alunos consultaram os dois livros?

b)     Quantos alunos consultaram somente o livro A?

 

Resolução:

Um método que facilita bastante a resolução de problemas deste tipo é o do desenho. Esboce as situações envolvidas através de círculos, cuja intersecção representa os elementos em comum entre os conjuntos analisados. A figura a seguir ilustra o que queremos dizer.

 

 

As incógnitas x, y e z significam o número de alunos que consultaram, respectivamente, o livro A, os dois livros e o livro B. A soma dessas três incógnitas é igual ao número total de alunos, ou seja,

x + y + z = 48                                                                                       (1.1)

Agora, de acordo com o enunciado, podemos montar mais duas equações, em termos de x e y, quais sejam

x + y = 26                                                                                            (1.2)

y + z = 28                                                                                            (1.3)

A fim de resolver esse sistema formado pelas equações (1.1), (1.2) e (1.3), isolaremos, em (1.2), a incógnita y. Dessa forma,

y = 26 – x                                                                                            (1.4)

Substituindo (1.4) em (1.1), teremos

x + 26 – x + z = 48                                                                                (1.5)

Perceba que o x se anula em (1.5), fornecendo-nos

z + 26 = 48.                                                                                         (1.6)

 

Com isso, temos z = 22. Esse valor representa o número de alunos que consultaram somente o livro B.

Para responder o item (a) do problema, basta aplicar o valor encontrado para z na equação (1.3), que fornecerá y = 6, significando, portanto, que 6 alunos consultaram os dois livros.

Finalmente, como solução do item (b), podemos aplicar tanto o valor de y como o de z em qualquer uma das equações que relacionam essas incógnitas com a incógnita x, obtendo, então, o valor x = 20, representando a quantidade de alunos que consultaram somente o livro A.

As respostas são, portanto:

a)    y = 6.

b)    x = 20.

 

02.  Numa universidade são lidos apenas dois jornais: X e Y. 80% dos alunos lêem o jornal X, e 60% o Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos.

a)     80%.

b)     14%.

c)     40%.

d)     60%.

e)     48%.


 

 

Resolução:

Assim como foi feito no exercício anterior, montemos o diagrama dos conjuntos:

 

 

Sabemos que o total de alunos (100%) é representado pela soma de a, b e c, ou seja,

a + b + c = 100%                                                                                  (2.1)

Como o enunciado apresentou, o jornal X é lido por 80% dos alunos, isto é,

a + b = 80%                                                                                         (2.2)

Além disso, 60% dos alunos lêem o jornal Y. Então,

b + c = 60%                                                                                         (2.3)

Se, na equação (2.2) isolarmos a, obtendo

a = 80 – b,                                                                                           (2.4)

substituirmos (2.4) na equação (2.1), teremos c = 20%. Dessa forma, mediante o uso da equação (2.3), chegamos ao resultado da questão, que é b = 40%, representando o percentual de alunos que lêem os dois jornais.

Portanto, alternativa C.

 

03.  Em um almoço, foram servidos, dentre outros pratos, frangos e leitões. Sabe-se que, das 94 pessoas presentes, 56 comeram frango, 41 comeram peixe e 21 comeram os dois. O número de pessoas que não comeram nem frango e nem peixe é:

 

a)     10.

b)     12.

c)     15.

d)     17.

e)     18.


 

 

Resolução:

Partindo do diagrama,

 

Como o almoço contava com 94 pessoas, podemos escrever

x + y + z + w = 94                                                                                 (3.1)

Das 94 pessoas, 56 comeram frango. Por isso,

x + y = 56                                                                                            (3.2)

Além disso, 41 pessoas comeram peixe. Assim,

y + z = 41                                                                                            (3.3)

 

Por fim, 21 pessoas comeram frango e peixe. Então, y = 21.

Substituindo o valor de y em (3.2) e (3.3), encontramos x = 35 e z = 20. Substituindo esses valores (x, y e z) em (3.1), podemos determinar o valor de w, que significa a quantidade de pessoas que não comeram nem frango nem peixe. Dessa forma, w = 18, resultado que está expresso na alternativa E.

 

Agora, fica por sua conta praticar o conhecimento adquirido neste artigo. Bons estudos!

 

04.  Sendo A = {0,1,2,3,4,5}, B= {0,2,4,6}, C = {x|x é número par menor que 10} e    D = {x|x é número ímpar entre 6 e 12}, determine:

a)     A B.

b)     A U C.

c)     A U B.

d)     C D.

e)     (B U A) C.

f)     C U D.

g)     (C B) U A.

h)     C U B.

(Dica: o conjunto C lê-se: x, tal que x é número par menor que 10; o conjunto D lê-se: x, tal que x é número ímpar entre 6 e 12.)

 

05.  Dados os conjuntos A = {1,3,5}, B = {2,4,5} e C = {1,2,3}, determine o conjunto H tal que:

a)     A U H = {1,2,3,4,5,6}

b)     B U H = {1,2,3,4,5,6}

c)     H – C = {4,5,6}

 

06.  Considere o seguinte diagrama:

          Calcule:

a)     A U B.

b)     A B C.

c)     A U B U C.

 

07.  Em uma pesquisa de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas utilizam os produtos A ou B. O produto B é utilizado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?

 

08.  Uma cidade com 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: M e N. Numa pesquisa feita com todos os habitantes, constatou-se que 1.200 pessoas não apreciam nenhum dos clubes, 1.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4.500 pessoas apreciam o clube M. Pergunta-se:

a)     Quantas pessoas apreciam apenas o clube M?

b)     Quantas pessoas apreciam o clube N?

c)     Quantas pessoas apreciam apenas o clube N?

 

Muito bem, pessoal. Espero que tenha ajudado um pouco. Mais uma vez, lembro vocês que estou à disposição, mediante o e-mail joaolucas@bussolaprofissional.com.br.

Um abraço, e até a próxima!

 

João Lucas Silva

 

 

GABARITO

04. a) {0,2,4}

b) {0,1,2,3,4,5,6,8}

c) {0,1,2,3,4,5,6}

d) {8}

e) {2,4,6}

f) {2,4,6,7,8,9,11}

g) {0,1,2,3,4,5,6}

h) {0,2,4,6,8}

 

05. a) H = {2,4,6}

b) H = {1,3,6}

c) H = {1,2,3,4,5,6}

 

06. a) {1,2,3,4,5,6,7,8}

b) {5}

c) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

 

07. 1.520 pessoas.

 

08. a) 3.200 pessoas.

b) 5.600 pessoas.

c) 4.300 pessoas.

 

 

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